Question

直线y=ex+b（e为自然对数的底数）与两个函数f（x）=e^x，g（x）=lnx的图象至多有一个公共点，则实数b的取值范围是 ________．

Answer 1

[-2，0]
分析：直线与两个函数的图象至多有一个公共点，可以分为①与f（x）=e^x的图象有一个公共点，且与g（x）=lnx的图象没有公共点；以及②与g（x）=lnx的图象有一个公共点与f（x）=e^x的图象没有公共点；③和与两个函数的图象都没有公共点三种情况．
解答：当y=ex+b与函数f（x）=e^x有一个公共点时，转化为ex+b=e^x只有一个根，令F（x）=e^x-（ex+b），则其导函数为F^/（x）=e^x-e，所以F^/（x）＞0时x＞1，F^/（x）＜0时x＜1，则F（x）在x=1时取极小值F（1）=-b，所以当y=ex+b与函数f（x）=e^x有一个公共点时须-b=0，即b=0．当y=ex+b与函数f（x）无公共点时须-b＞0，即b＜0．
同理可得y=ex+b与g（x）=lnx有一个公共点时，b=-2，当y=ex+b与函数g（x）=lnx无公共点时，b＞-2．
故与f（x）=e^x的图象有一个公共点，且与g（x）=lnx的图象没有公共点成立时b=0，
与g（x）=lnx的图象有一个公共点与f（x）=e^x的图象没有公共点成立时b=-2，
与两个函数的图象都没有公共点成立时-2＜b＜0，
综上可知[-2，0]
故答案为：[-2，0]
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及对应方程根的问题，体现了导数在研究方程中的应用