如图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N).
(1) 求、及数列的通项公式;
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式;
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.
(1) 解:由,设直线的斜率为,则.
∴直线的方程为.令,得, ……2分
∴, ∴.
∴.
∴直线的方程为.令,得. ……4分
一般地,直线的方程为,
由于点在直线上,
∴.
∴数列是首项为,公差为的等差数列.
∴. ……6分
(2)解:
. ……8分
(3)证明:.…10分
∴,.
要证明,只要证明,即只要证明。 11分
证法1:(数学归纳法)
① 当时,显然成立;
② 假设时,成立,
则当时,,
而.
∴.
∴.
这说明,时,不等式也成立.
由①②知不等式对一切N都成立. ……14分
证法2:
.
∴不等式对一切N都成立. ……14分
证法3:令,
则,
当时, ,
∴函数在上单调递增.
∴当时, .
∵N,
∴, 即.
∴.
∴不等式对一切N都成立.
解析
科目:高中数学 来源: 题型:
Tn+1 |
Tn |
xn+1 |
xn |
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省梅州市高三上学期期末考试数学理卷 题型:解答题
如图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N).
(1) 求、及数列的通项公式;
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式;
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)如图5,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N).
(1) 求、及数列的通项公式;
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式;
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省广州市高三调研数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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