Question

f（x）=lg

a-x

10+x

，定义域[-9，9]，在定义域内为奇函数，a∈R，
（1）求a的值；
（2）判断f（x）单调性并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质：f（0）=0，列出方程求出a的值．
（2）利用函数单调性的定义判断，先利用作差法证明对应真数的大小，根据对数函数的单调性得f（x₁）与f（x₂）的大小，即可得在定义域上的单调性．

解答： 解：（1）因为f（x）=lg

a-x

10+x

在定义域[-9，9]为奇函数，
所以f（0）=lg

a

10

=0，解得a=10，
则a的值是10；
（2）由（1）得，f(x)=lg

10-x

10+x

，定义域为[-9，9]，
函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
任取x₁，x₂∈[-9，9]，且x₁＜x₂，
则

10-x1

10+x1

-

10-x2

10+x2

=

(10-x1)(10+x2)-(10-x2)(10+x1)

(10+x1)(10+x2)

=

20(x2-x1)

(10+x1)(10+x2)

因为-9≤x₁＜x₂≤9，所以x₂-x₁＞0，
则

20(x2-x1)

(10+x1)(10+x2)

＞0，所以

10-x1

10+x1

＞

10-x2

10+x2

，
因为函数y=lgx在定义域上递增，所以lg

10-x1

10+x1

＞lg

10-x2

10+x2

，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在定义域[-9，9]上单调递减．

点评：本题考查奇函数的性质，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，化简时需要注意应先比较真数的大小，才能得到f（x₁）与f（x₂）的大小，计算量大，属中档题．