Question

原命题：“若a=1，则函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1没有极值”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．4

Answer 1

分析：先判断原命题的真假，由于其逆否命题与原命题有相同的真假性，进而得到逆否命题的真假；得到其逆命题为“若函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1没有极值，则a=1”，而由条件得到0≤a≤2，故其逆命题是假命题，因而其否命题也是假命题，即可得到正确结论．

解答：解：当a=1时，函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+

1

2

x+1，f′(x)=x2+x+

1

2

=(x+

1

2

)2+

1

4

＞0
所以函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2+

1

2

x+1没有极值，
故“若a=1，则函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1没有极值”为真命题，因而其逆否命题也为真；
其逆命题为“若函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1没有极值，则a=1”
由于函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1没有极值，
即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．
函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+

1

2

ax+1的导数为 f′（x）=x²+ax+

a

2

，
∴△=a²-2a≤0，∴0≤a≤2，所以其逆命题是假命题，因而其否命题也是假命题；
故答案为 C

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，以及四种命题的真假的判断，属于基础题．