Question

如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A发生偶数次的概率为    ．

Answer 1

【答案】分析：事件A发生偶数次的概率为 C_np（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，而把[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展开式相加并除以2，即可得到事件A发生偶数次的
概率．
解答：解：事件A发生偶数次的概率为 C_np（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…
又[（1-p）+p]ⁿ=C_np（1-p）ⁿ+C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+C_nⁿpⁿ（1-p）  ①，
[（1-p）-p]ⁿ=C_np（1-p）ⁿ-C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2-C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+（-1）ⁿC_nⁿpⁿ（1-p） ②，
由①+②并除以2 可得 =C_np（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，
故答案为：．
点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，二项式定理的应用，得到[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展开式，是解题的关键，属于中档题．