Question

如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|²+|AC|²=|BC|²”和“

1

|AD|2

=

1

|AB|2

+

1

|AC|2

”等，由此联想，在三棱锥O-ABC中，若三条侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；故由：“直角三角形中，直角边边长为a，b，斜边边长为c，直角三角形具有性质：c²=a²+b²．”（边的性质），类比到空间可得的结论是“在直角三棱锥中，直角面面积分别为S₁，S₂，S₃，斜面面积为S”，S₁²+S₂²+S₃²=S²

解答：解：（以下仅供参考，不同结论请酌情给分．每个正确结论给（2分），证明给5分）  可以得出有以下结论：
（Ⅰ）三个侧面OAB、OAC、OBC两两互相垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）
（Ⅱ）

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OB2

+

1

OC2

（H为△ABC的重心）
（Ⅲ）S_△OAB²+S_△OAB²+S_△OBC²=S_△ABC²
以下给出具体的证明：
（1）证明：∵OA⊥OC，OB⊥OC∴OC⊥平面OAB
∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可证平面OBC⊥平面OAC

（2）证明：如图连接AH并延长AH交BC于D连接OD
∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD
在Rt△ABC中∵OH⊥AD∴OH•AD=AO•OD
∴OH²•AD²=AO²•OD²
又∵AD²=OA²+OD²∴

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OD2

∵AD⊥BC，由三垂线定理得：BC⊥OD
∴在Rt△OBC中  OD²•BC²=BO²•CO²
∴OD²=

BO2•CO2

BC2

又∵BC²=BO²+CO²
∴

1

OD2

=

1

BO2

+

1

CO2

②由①②得：

1

OH2

=

1

OA2

+

1

OB2

+

1

OC2

（Ⅳ） 证明：如图（延用（Ⅸ）中的字母a，b，c）∵H为垂心∴AD⊥BC
又∵OA、OB、OC两两垂直∴S_△OAB=

1

2

ab   S_△OBC=

1

2

bc  S_△OAC=

1

2

ac  
S_△ABC=

1

2

BC•AD
∴S_△OAB²+S_△OAC²+S_△OBC²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC∴OB²•OC²=b² c²=OD²•BC²=OD²•（b²+c²）…②
∴②代入①得：S_△OAB²+S_△OBC²+S_△OAC²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S_△ABC²

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．