Question

（本小题满分13分）

如图，已知直角梯形中, 过

作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.

(Ⅰ)求证：；

（Ⅱ）求证：；

(Ⅲ)在线段上找一点,使得面面,并说明理由.

Answer 1

(本小题满分14分)

解:（1）证明：由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥面ABCE……2分

    ∴DE⊥BC，又BC⊥CE，∴BC⊥面DCE………….3分

   （2）证明：取AB中点H，连接GH，FH...............4分

    ∴GH‖BD，  BD面BCD,  GH面BCD

∴GH‖面BCD……………..6分

同理FH‖面BCD

   ∴面FHG‖面BCD    ∴GF‖面BCD……….7分

   （3）分析可知，R点满足3AR=RE时，面BDR⊥面BDC…………8分

    证明：取BD中点Q，连结DR、BR、CR、CQ、RQ

    容易计算CD=2，BD=,CR=,DR=,CQ=,………..9分

    在▲BDR中∵BR=，DR=，BD=，可知RQ=……….10分

    ∴在▲CRQ中，CQ²+RQ²=CR²，∴CQ⊥RQ..........................11分.

    又在▲CBD中，CD=CB，Q为BD中点∴CQ⊥BD.........................12分.

∴CQ⊥面BDR，∴面BDC⊥面BDR........................13分.