Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F₁PF₂ 取最大值为90°，故有 b=c，离心率

c

a

=

2

2

．
（2）由（1）知，可设椭圆方程：

x2

2c2

+

y2

c2

= 1，c＞0，当直线l垂直于x轴时，△ABF₂的面积为

2

 c²，令

2

 c²=12 可得椭圆的方程为

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．当直线l不垂直于x轴时，△ABF₂的面积 S=

1

2

•AB•h
=

1

2

•

2 2 c(1+k2)

1+2k2

•2c

|K|

1+K2

≤

2

c2，故所求的椭圆的方程为

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．

解答：解：（1）根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F₁PF₂ 取最大值为90°，∴b=c，
∴a=

2

c，∴离心率

c

a

=

2

2

．
（2）由（1）知，可设椭圆方程：

x2

2c2

+

y2

c2

= 1，c＞0，当直线l垂直于x轴时，
直线l的方程为 x=-c，△ABF₂ 为等腰三角形，把x=-c  代入椭圆可得 y=±

2

2

c．
△ABF₂的面积为 

1

2

•

2

 c•2c=

2

 c²．令

2

 c²=12，c²=6

2

，
椭圆的方程为

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 y-0=k（x+c），代入椭圆的方程可得 
（1+2k²）x² +4c k²x+2c²（k²-1）=0，∴x₁+x₂ =

-4ck2

1+ 2k2

，x₁x₂=

2c2(k2-1)

1+  2k2

．
∴AB=

1+k2

|x1-x2|=

2 2 c(1+k2)

1+2k2

，AB边上的高h=2c•sin∠BF₁F₂=2c

|K|

1+K2

，
∴△ABF₂的面积 S=

1

2

•AB•h=

1

2

•

2 2 c(1+k2)

1+2k2

•2c

|K|

1+K2

 
=2

2

c²•

1+k2 |k|

1+2k2

=2

2

c2•

k2+k4 1+4k2+4k4

=2

2

c2•

1 4+ 1 k4+k2

≤

2

c2，
 故S的最大值为

2

c2，此时，椭圆的方程为

x2

12 2

+ 

y2

6 2

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，得到S的最大值为

2

c2，是
解题的难点，属于中档题．