Question

如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合于点B，构成一个三棱锥（如图2）．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给予证明；
（2）证明：平面ABE⊥平面BEF；
（3）求多面体E-AFNM的体积．

Answer 1

（1）解：MN∥平面AEF…（1分）
证明如下：因翻折后B、C、D重合，∴MN是△ABF的一条中位线，…（3分）
∴MN∥AF
又∵MN?平面AEF，AF?平面AEF
∴MN∥平面AEF．…（6分）
（2）证明：∵AB⊥BE，AB⊥BF，且BE∩BF=B
∴AB⊥平面BEF，…（8分）
而AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF…（9分）
（3）解：∵AB=4，BE=BF=2，∴，…（11分）
又…（13分）
∴V_E-AFMN=2．…（14分）．
分析：（1）利用线线平行，即MN∥AF，利用线面平行的判定证明线面平行；
（2）利用线面垂直，证明面面垂直；
（3）利用体积比，即可求多面体E-AFNM的体积．
点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查多面体体积的计算，掌握线面平行，面面垂直的判定方法是关键．