Question

在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x²+ax+b²有零点的概率为________．

Answer 1

分析：根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，由一元二次方程根与系数的关系，算出函数f（x）=x²+ax+b²有零点时满足a≥2b，满足条件的点（a，b）在正方形内部且在直线a-2b=0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．
解答：∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取，
∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，
可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取，
其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点
若函数f（x）=x²+ax+b²有零点，则
△=a²-4b²≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a-2b=0的下方，
且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S₁==4
∵正方形OABC的面积为S=4×4=16
∴函数f（x）=x²+ax+b²有零点的概率为P===
故答案为：
点评：本题给出a、b满足的关系式，求函数f（x）=x²+ax+b²有零点的概率，着重考查了面积计算公式、一元二次方程根的判别式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．