Question

对数列{a_n}，规定{Δa_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中Δa_n＝a_n+1－a_n(n∈_N)．

对自然数k，规定{Δ^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中Δ^ka_n＝Δ^k－1a_n+1－Δ^k－1a_n＝Δ(Δ^k－1a_n)．

(1)已知数列{a_n}的通项公式a_n＝n²＋n(n∈N)，试判断{Δa_n}，{Δ²a_n}是否为等差或等比数列，为什么？

(2)若数列{a_n}首项a₁＝1，且满足Δ²a_n－Δa_n+1＋a_n＝－2ⁿ(n∈N)，求数列{a_n}的通项公式．

(3)对(2)中数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)，∴是首项为4，公差为2的等差数列． 　　 　　∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列; 　　(2)，即，即，∴ 　　∵，∴，，，猜想： 　　证明：ⅰ)当时，； 　　ⅱ)假设时， 　　时，结论也成立 　　∴由ⅰ)、ⅱ)可知，; 　　(3)，即 　　∵ 　　∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．