Question

下表所示为X、Y、Z三种食物的维生素含量及其成本．

某人欲将这三种食物混合，制成100 kg的混合物，设所用的食物X、Y、Z的份量依次是x，y，z(kg)．

(1)试以x，y表示z；

(2)试以x，y表示混合物成本；

(3)若混合物至少需要44 000单位维生素A及48 000单位维生素B，证明y≥20，2x－y≥40，x＋y≤100；

(4)确定使成本最少的x，y，z的值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)x＋y＋z＝100，所以z＝100－x－y．

　　(2)混合物成本Q＝6x＋5y＋4z＝6x＋5y＋4(100－x－y)＝400＋2x＋y．

　　(3)因为400x＋600y＋400z≥44000，即400x＋600y＋400(100－x－y)≥44000，所以y≥20．因为800x＋200y＋400z≥48000，即800x＋200y＋400(100－x－y)≥48000，所以2x－y≥40．因为x＋y＋z＝100，所以x＋y＝100－z．而z≥0，所以x＋y≤100．

　　(4)作出不等式组所表示的平面区域(如图)，

　　目标函数为P＝40＋2x＋y．当点(x，y)在平面区域△ABC(包括边界)上变动时，目标函数P在点A(30，20)处取得最小值480．

提示：

在第(4)问中，可以将z用x和y来表示，从而达到减少变量的效果．