Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）＞0，且对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值，并指出函数f（x）在R上的单调性；
（2）求证：函数f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意的x∈R恒成立，求实数k的范围．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，得 f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0…
又f（x）为R上的单调函数
且 f（3）＞0=f（0）…
所以f（x）为R上的单调增函数…
（2）由已知，函数f（x）的定义域关于原点对称，
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）…
由于f（0）=0，得f（-x）=-f（x）
所以，函数f（x）为奇函数…
（3）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2），f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），…
因为f（x）为R上的单调增函数，…
所以k•3^x＜-3^x+9^x+2，k＜-1+3^x+…
因上式对于?x∈R恒成立，
只需k小于-1+3^x+的最小值，
由于3^x+≥2，…
所以-1+3^x+≥2-1，
所以，k＜2-1…
故，实数k的取值范围为…
分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，由f（x）为R上的单调函数且f（3）＞0=f（0）即可判断函数f（x）在R上的单调性；
（2）由（1）知f（0）=0，再令y=-x，可求得f（x）+f（-x）=0，从而可判断函数f（x）为奇函数，问题得证；
（3）依题意，可求得f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2），再结合f（x）为R上的单调增函数，可求得k•3^x＜-3^x+9^x+2?k＜-1+3^x+恒成立，求得-1+3^x+的最小值即可．
点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查函数恒成立问题，属于中档题．