Question

8．如图所示，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，连接AD，E是线段AD的中点．
（1）求三棱锥E-BCD的体积；
（2）判断直线CE与平面ABD是否垂直，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BC的中点为O，连AO、DO，可证AO⊥平面BCD，求得$AO=\sqrt{3}$，又E为AD中点，可求E点到平面BCD的距离，由三角形面积公式求得△BDC的面积，利用三棱锥的体积公式即可计算得解．
（2）由（1）可求$AO=DO=\sqrt{3}$，进而可求AD，由CA=CD，E为AD中点，可求CE，同理可求BE，进而通过BC²≠BE²+CE²，证明直线CE与平面ABD是不垂直．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）设BC的中点为O，连AO、DO．
由AB=AC，则AO⊥BC，
由平面ABC⊥平面BCD，BC是它们的交线知：AO⊥平面BCD，
由已知得$AO=\sqrt{3}$，…（2分）
即A点到平面BCD的距离为$\sqrt{3}$，
又E为AD中点，
则E点到平面BCD的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
而△BDC的面积为$\sqrt{3}$，
故${V_{三棱锥E-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}$． …（6分）
（2）直线CE与平面ABD是不垂直．…（8分）
理由如下：假设直线CE与平面ABD垂直，
由（1）知∠AOD=90°，且$AO=DO=\sqrt{3}$，
则$AD=\sqrt{A{O^2}+D{O^2}}=\sqrt{6}$，
由CA=CD，E为AD中点，
则$CE=\sqrt{A{C^2}-A{E^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，同理可得$BE=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
若CE⊥平面ABD，BE?平面ABD，
则CE⊥BE，应有BC²=BE²+CE²，
而BC²=4，$B{E^2}+C{E^2}={（\frac{{\sqrt{10}}}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{10}}}{2}）^2}=5$，
则BC²≠BE²+CE²，这与假设矛盾，假设不成立．
故直线CE与平面ABD是不垂直．  …（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，考查了数形结合思想，空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．