Question

某工厂生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一件产品需要另外投入100元，市场销售部进行调查后得知，市场对这种产品的年需求量为1000件，且销售收入函数，其中t是产品售出的数量，且0≤t≤1000．（利润=销售收入-成本）
（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f（x）的解析式；
（2）当年产量为多少时，工厂的利润最大，最大值为多少？

Answer 1

解：（1）根据利润=销售收入-成本，当0≤x≤1000时，t=x，可得y=-x²+1000x-20000-100x=-x²+900x-20000
当x＞1000时，t=1000，y=-×1000²+1000²-20000-100x=480000-100x（4分）
∴f（x）= （ 6分）
（2）当0≤x≤1000时，f（x）=-x²+900x-20000=-（x-900）²+38500
∴x=900时，f（x）_max=38500，
当x＞1000时，f（x）=480000-100x为减函数
∴f（x）＜480000-10000=380000（11分）
∴当年产量为900件时，工厂的利润最大，最大值为385000元．（12分）
分析：（1）根据利润=销售收入-成本，结合销售收入函数，可得分段函数；
（2）分段求出函数的最值，从而可得工厂的利润最大值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是正确构建函数，确定函数的最值．