Question

如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

（2）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1)1;（2）或或或．

【解析】

试题分析：（1）直线与椭圆（圆锥曲线）相交和直线与圆相交的问题有区别，直线与圆相交可以利用圆的一些性质，用几何方法解决问题，而直线与椭圆（圆锥曲线）相交只能用解析法解题。这里直接求出两点有坐标（用表示），求出三角形的面积，相当于把的面积表示成了的函数，然后用不等式的知识或函数知识求出最大值。（2）同样把直线方程与椭圆方程联立，消去，得出关于的二次方程，两点的横坐标就是这个方程的两解，故必须满足，而线段的长，再求出原点到直线的距离，利用面积，列出关于的方程组，解出，即直线的方程。

试题解析：解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，

由，解得

所以

当且仅当时，．S取到最大值1．

（Ⅱ）解：由得

　　　　　　　①

｜AB｜＝           ②

又因为O到AB的距离　　所以　　③

③代入②并整理，得

解得，，代入①式检验，△＞0

故直线AB的方程是

或或或．

考点：直线与椭圆相交，弦长公式。