Question

曲线y=3x-x³的过点（1，3）的切线方程是

 

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Answer 1

分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，分点（1，3）是切点和原点不是切点两类求，先求出函数y=3x-x³的导函数，然后求出在切点处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．

解答：解：f′（x）=-3x²+3．设切线的斜率为k．
显然切点不是点（1，3），设切点是（x₀，y₀），
则有y₀=3x₀-x₀³，①
k=f′（x₀）=-3x₀²+3，
又k=

y0-3

x0-1

=-3x₀²+3，②
由①②得x₀=

3

2

，或x₀=0，
k=-

15

4

，或k=3．
∴所求曲线的切线方程为：15x+4y-27=0或y=3x，
故曲线的切线方程是y=3x或15x+4y-27=0．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于基础题．