Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}为等差数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1-n），若(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…(1+

1

bn

)＞k

n+1

对一切n∈N^*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=log₂（a_n+1-n）=n
设f（n）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×

1

n+1

，（n≥2）
则f（n+1）=(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…（1+

1

bn

）×（1+

1

bn+1

）×

1

n+2

，
两式相除可得

f(n+1)

f(n)

=（1+

1

bn+1

）×

n+1

n+2

=

n+2

n+1

＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=

3

2

，
要使(1+

1

b2

)(1+

1

b3

)(1+

1

b4

)…(1+

1

bn

)＞k

n+1

对一切n∈N^*且n≥2恒成立，
必有k＜

3

2

；
故k的取值范围是k＜

3

2

．