Question

已知抛物线y²=4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．

Answer 1

设M（x₀，y₀），则k_OM=

y0

x0

，k_AB=-

x0

y0

，
直线AB方程是y=-

x0

y0

（x-x₀）+y₀．
由y²=4px可得x=

y2

4p

，将其代入上式，整理，得
x₀y²-（4py₀）y-4py₀²-4px₀²=0．①
此方程的两根y₁、y₂分别是A、B两点的纵坐标，∴A（

y 21

4p

，y₁）、B（

y22

4p

，y₂）．
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1．∴

4p

y1

•

4p

y2

=-1．∴y₁y₂=-16p²．
根据根与系数的关系，由①可得
y₁•y₂=

-4p(x02+y02)

x0

，∴

-4p(x02+y02)

x0

=16p²．
化简，得x₀²+y₀²-4px₀=0，
即x²+y²-4px=0（除去原点）为所求．
∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
法二：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-

x

y

．
由y²=4px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-4p）+b²=0．
所以x₁x₂=

b2

k2

．消去x，得ky²-4py+4pb=0．所以y₁y₂=

4pb

k

．由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以

4pk

k

=-

b2

k2

，b=-4kp．
故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-

x

y

代入，得
x²+y²-4px=0（x≠0）．
∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．