Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…

bn

2n

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设T_n为数列{ns_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列a_n的公差为d，则依题设d=2，a₁=1，从而能够得到数列{an}的通项公式．
（2）令cn=

bn

2n

，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1，从而得到a₁=1，a_n+1-a_n=2，由此能够导出bn=

2   (n=1) 2n+1(n≥2)

，从而得到S_n=2ⁿ⁺²-6．
（3）先分别求出数列{n•2ⁿ⁺²}和数列{6n}的前n项和，二者相减即可得到数列{n•2ⁿ⁺²-6n}的前n项和．

解答：解：（1）解：设等差数列a_n的公差为d，则依题设d＞0
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①
由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①得2a₁=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d²=220
∴d²=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a₁=1
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令cn=

bn

2n

，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n-+1（4分）
两式相减得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，c_n=2（n≥2），即当n≥2时，b_n=2ⁿ⁺¹
又当n=1时，b₁=2a₁=2
∴bn=

2   (n=1) 2n+1(n≥2)

于是S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹
=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-4=

2(2n+1-1)

2-1

-4=2n+2即S_n=2ⁿ⁺²-6（9分）
（3）数列{n•2ⁿ⁺²}的前n项和为T₁=（n-1）•2ⁿ⁺³+8（12分）
数列{6n}的前n项和为T₂=3n²+3n（13分）
所以，数列{n•2ⁿ⁺²-6n}的前n项和为T₁-T₂=（n-1）•2ⁿ⁺³+8-3n²-3n（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设条件，合理解答．