Question

检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级．每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格．设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立．根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为

3

4

，

1

8

，

1

8

．
（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为ξ，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）该间教室的空气质量合格分两种情况：该间教室两次检测中，空气质量均为A级；该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级，这两种情况对应事件互斥，分别求概率再求和即可．
（Ⅱ）由题意该市某中学的4间教室进行检测为独立重复试验，ξ服从二项分布，按照二项分布列分布列、求期望即可．

解答：解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A级的概率为

3

4

×

3

4

=

9

16

．
该间教室两次检测中，空气质量一次为A级，另一次为B级的概率为2×

3

4

×

1

8

=

3

16

．
设“该间教室的空气质量合格”为事件E．则P(E)=

3

4

×

3

4

+2×

3

4

×

1

8

=

3

4

．
答：估计该间教室的空气质量合格的概率为

3

4

．
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，3，4．
P(ξ=i)=

C

i 4

(

3

4

)i(1-

3

4

)4-i（i=0，1，2，3，4）．
随机变量ξ的分布列为：

解法一：∴Eξ=0×

1

256

+1×

3

64

+2×

27

128

+3×

27

64

+4×

81

256

=3．
解法二：∵ξ～B(4，

3

4

)，∴Eξ=4×

3

4

=3．

点评：本题考查独立、独立重复试验的概率、互斥事件的概率、二项分布及期望等知识．