一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10公里的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问
(1)若轮船以每小时24公里的速度航行,求行驶100公里的费用总和.
(2)如果甲、乙两地相距100公里,求轮船从甲地航行到乙地的总费用的最小值,并求出此时轮船的航行速度.
解:(1)设轮船的速度为v,比例系数为k,(k>0),则每小时的燃料费为kv
3 因为,当v=10时,kv
3=6;所以,
;
设总费用为y,则
(v>0);
当v=24时,行驶100公里的费用总和为y=745.6(元);
(2)对y求导,得
;
令y'=0,得v=20;
∴当0<v<20时,y'<0,函数y单调递减;
当v>20时,y'>0,函数y单调递增;
所以,当v=20时,函数y取得极小值,即为最小值720元.
答:当轮船每小时行驶20公里时,从甲地航行到乙地的总费用最小,最小值为720元.
分析:(1)若设轮船的速度为v,比例系数为k,(k>0),则每小时的燃料费为kv
3 ,由v=10,可得
;即总费用y=
,(v>0);把v=24代入计算即可;
(2)对y求导,得
;令y'=0,可得v=20;由导数的正、负可得函数y取得极小值(即最小值)时,v=20;
点评:本题考查了利用导数求函数最值的应用问题,本题的关键是根据题意,正确列出函数解析式,从而求得结果.