Question

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．

(1)设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；

(2)求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在△ABD中，由余弦定理得 　　BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA. 　　同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC.2分 　　因为∠A和∠C互补， 　　所以AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC 　　＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cosA．4分 　　即 x2＋(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2＋(5－x)2＋2 x(5－x) cosA． 　　解得cosA＝，即f(x)＝．其中x∈(2，5)．7分 　　(2)四边形ABCD的面积 　　S＝(AB·AD＋ CB·CD)sinA＝[x(5－x)＋x(9－x)]． 　　＝x(7－x)＝＝．9分 　　记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)． 　　由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0， 　　解得x＝4(x＝7和x＝－舍)．10分 　　所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．11分 　　因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108． 　　所以S的最大值为＝6．… 12分 　　答：所求四边形ABCD面积的最大值为6m2．13分