Question

对于正整数k，g（k）表示k的最大奇因数，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…，记f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ），其中n为正整数．
（1）分别计算g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求证：当n≥2时，f（n）=4^n-1+f（n-1）；
（3）记a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），当{a_n}为递增数列时，求实数k的范围．

Answer 1

分析：（1）k的最大奇因数是指k的约数当中的最大的奇数，由此定义可得g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，g（5）=5，g（6）=3，g（7）=7，g（8）=1，代入要求了代数式，即可以得出它们的值；
（2）正整数分为正奇数和正偶数，由此将从1、2、…，到2ⁿ的数进行分类，可得当n≥2时，f（n）=g（1）+g（2）+
g（3）+…+g（2ⁿ）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）=（2^n-1）²+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1））=4^n-1+f（n-1），等式成立；
（3）在（2）的结论的基础上，可得f（n）-f（n-1）=4^n-1，然后分别将n=1、n=2、n=3，…，代入用累加的方法可以求得
f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

成立，由此代入a_n=f（n+1）+k（-1）ⁿf（n），得出a_n的表达式．最后讨论{a_n}为递增数列，说明a_n+1-a_n＞0在正整数范围内恒成立，可以得出-2＜k＜

16

7

．

解答：解：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7=16；
g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）证明：∵g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2k）
=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•k）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（k）
∴当n≥2时，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）
=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
=

1+2n-1

2

(2n-1)+f(n-1)=4^n-1+f（n-1）
（3）由（2）得，当n≥2时，f（n）=4^n-1+f（n-1），即f（n）-f（n-1）=4^n-1
∴f（3）-f（2）=4²，f（4）-f（3）=4³，f（n）-f（n-1）=4^n-1
可得f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=

42(1-4n-2)

1-4

+6=

4n+2

3

当n=1时，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴f(n)=

4n+2

3

n∈N^*
an=f(n+1)+k(-1)nf(n)=

4n+1+2

3

+k(-1)n

4n+2

3

∵{a_n}为递增数列
∴当n∈N^*时，a_n+1-a_n=

4n+2+2

3

+k(-1)n+1

4n+1+2

3

-

4n+1+2

3

-k(-1)n

4n+2

3

=4n+1+

1

3

k(-1)n+1(5•4n+4)＞0恒成立
当n为正奇数时，k＞-

12•4n

5•4n+4

=-

12

5

+

48

25•4n+20

∵当n=1时，-

12

5

+

48

25•4n+20

取到最大值-2
∴k＞-2；
当n为正偶数时，k＜

12•4n

5•4n+4

=

12

5

-

48

25•4n+20

∵当n=2时，

12

5

-

48

25•4n+20

取到最小值

16

7

∴k＜

16

7

∴-2＜k＜

16

7

点评：本题综合了数列的通项与求和的方法、函数的单调性和不等式恒成立等复杂知识点，属于难题．解题时要注意数列当中的归纳方法与证明不等式恒成立时的放缩的技巧，本题综合性较强，适合基础较好的同学．