Question

（2010•南充一模）直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E为BD₁的中点，F为AB中点．
（1）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）若BB1=

2

2

，求A₁F与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AD₁，利用三角形中位线定理证明EF∥AD₁，最后利用线面平行的判定定理证明EF∥平面ADD₁A₁即可；
（2）以D为原点，以DC所在直线为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求平面DEF的一个法向量，则线面所成角的正弦值就是斜线和法向量夹角的余弦的绝对值

解答：解：（1）证明：连接AD₁，在△ABD₁中
∵E是BD₁的中点，F是BA中点，
∴EF∥AD₁
又EF?平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyzz（DG为AB边上的高）
则有A₁（

3

2

，-

1

2

，

2

2

），F（

3

2

，

1

2

，0），D₁（0，0，

2

2

），
B（

3

2

，

3

2

，0），
∴E（ 

3

4

，

3

4

，

2

4

 ），
设平面DEF的一个法向量为n=（x，y，z），
由，

n• DE =0 n• DE =0

得

3 4 x+ 3 4 y+ 2 4 z=0 3 2 x+ 1 2 y=0

取x=1解得y=-

3

 ，  z=

6

∴法向量n=(1，-

3

，

6

)
∵

A1F

=（0，1，-

2

2

），
设A₁F与平面DEF所成的角为θ，则
sinθ=|cos?

A1F

，n＞|=

| A1F •n|

| A1F |•|n|

=

|0×1+1×(- 3 )+(- 2 2 )× 6 |

3 2 × 10

=

2 5

5

∴A₁F与平面DEF所成角的正弦值为

2 5

5

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及其应用，直线与平面所成角的算法，空间直角坐标系及空间向量在解决立体几何问题中的应用，有一定的运算量