Question

如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB=120°，PM=AC=1，BC=2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求二面角M-AC-B大小的正切值；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面MAC的一个法向量为 ，平面ABC的法向量取为 =（0，0，1）利用 ，解答即可．
（II）取平面PCM的法向量取为 =（{1，0，0}），则点A到平面PCM的距离 ，求出体积即可．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，按如图所示建立空间直角坐标系C-xyz．（1分） 
设点P（0，0，z）（z＞0），由已知可得，点，M（0，1，z），
则．
因为直线AM与直线PC所成的角为60°，
则，即．
解得z=1，从而．（3分）
设平面MAC的一个法向量为=（x₁，y₁，z₁），
则，即．
取x₁=1，则=．（5分）
又=（0，0，1）为平面ABC的一个法向量，
设向量与的夹角为θ，则．
从而，．（7分）
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，故二面角M-AC-B的正切值是．（8分）
（Ⅱ）因为a=（1，0，0）为平面PCM的一个法向量，，
则点A到平面PCM的距离．（10分）
又PC=PM=1，则．（12分）
点评：本题主要考查二面角的平面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．