Question

【题目】已知函数，，（其中为自然对数的底数，…）.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（3）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极大值为-1，最小值为（2）（3）

【解析】

（1）当时，利用函数导数，求得函数的单调区间，并求出极大值和极小值.（2）对求导后，令导数大于或等于零，对分成三类，讨论函数的单调区间，由此求得取值范围.（3）构造函数，利用导数求得函数的最小值，令这个最小值大于或等于零，解不等式来求得的取值范围.

解：（1）当时，，，

当或时，，函数在区间，上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.

所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.

（2），令，依题意，函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立. 当时，显然成立；当时，在上单调递增，只须，即，所以.当时，在上单调递减，只须，即，所以.

综上， 的取值范围为.

（3），即，令=， 因为，所以只须，令，，，因为，所以，所以，即单调递增，

又，即单调递增，所以，所以，又，

所以.