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某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=
1
3
x2+10x
(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+
10000
x
-1450
(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
分析:(1)分两种情况进行研究,当0<x<80时,投入成本为C(x)=
1
3
x2+10x
(万元),根据年利润=销售收入-成本,列出函数关系式,当x≥80时,投入成本为C(x)=51x+
10000
x
-1450
,根据年利润=销售收入-成本,列出函数关系式,最后写成分段函数的形式,从而得到答案;
(2)根据年利润的解析式,分段研究函数的最值,当0<x<80时,利用二次函数求最值,当x≥80时,利用基本不等式求最值,最后比较两个最值,即可得到答案.
解答:解:(1)∵每件商品售价为0.05万元,
∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元,
①当0<x<80时,根据年利润=销售收入-成本,
L(x)=(0.05×1000x)-
1
3
x2-10x-250
=-
1
3
x2+40x-250

②当x≥80时,根据年利润=销售收入-成本,
L(x)=(0.05×1000x)-51x-
10000
x
+1450-250
=1200-(x+
10000
x
)

综合①②可得,L(x)=
-
1
3
x2+40x-250(0<x<80)
1200-(x+
10000
x
)(x≥80).

(2)由(1)可知,L(x)=
-
1
3
x2+40x-250(0<x<80)
1200-(x+
10000
x
)(x≥80).

①当0<x<80时,L(x)=-
1
3
x2+40x-250
=-
1
3
(x-60)2+950

∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950万元;
②当x≥80时,L(x)=1200-(x+
10000
x
)
≤1200-2
x•
10000
x
=1200-200=1000,
当且仅当x=
10000
x
,即x=100时,L(x)取得最大值L(100)=1000万元.
综合①②,由于950<1000,
∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.
点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.本题建立的数学模型为分段函数,对于分段函数的问题,一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解.属于中档题.
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