Question

判断下列函数的单调性，并说明理由．

(1)y＝；

(2)y＝x²－2|x|－1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1， 　　故函数y＝的定义域是[－3，1]． 　　∵3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4， 　　∴由二次函数的性质可知，此函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，1]是减函数; 　　(2)由题意，y＝x2－2|x|－1＝x2－2x－1＝ 　　它的图象如图所示，可知此函数在区间(－∞，－1和[0，1]上是减函数，在区间[－1，0]和－∞，－1)上是增函数． 　　说明：利用基本函数的单调性及函数的图象是判定函数单调性的常用方法．对于(1)，是一个复合函数求单调性的问题，y＝可以看作是由y＝和u＝3－2x－x2两个函数复合而成的函数，由基本函数的性质可以得到复合函数的性质． 　　若u＝g(x)在[a，b]上是单调增(减)函数，y＝f(u)在区间[g(a)，g(b)]或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y＝y＝f[a，b]在[a，b]上一定是单调函数，并且有以下结论． 　　这一规律类似于我们熟悉的正负数的乘法符号法则，事实上，如果把“增”看成“正”，把“减”看成“负”，则“正正为正”，“负负为正”，分别与“增增为增”，“减减为减”相类似；“正负为负”，“负正为负”分别与“增减为减”，“减增为减”相类似，这样一来，就容易记住了． 　　判断函数的单调性应在定义域的范围内，本题易忽视定义域，这将导致解题失误，因为单调性是在定义域内定义的．

提示：

判断函数的单调性，首先必须确定函数的定义域，而后在定义域内确定单调递增、递减区间．含绝对值的函数应先将原函数化为分段函数，在各自的分段区间内确定递增、递减区间．