Question

直三棱柱中，，，点D在线段AB上．

    （Ⅰ）若平面，确定D点的位置并证明；

    （Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当D是AB中点时，∥平面．

    连接BC₁，交B₁C于E，连接DE．

    因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，

    所以侧面BB₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，

    所以 DE// AC₁．   

    因为 DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，                    

    所以 AC₁∥平面B₁CD．  

    （Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．则B（6, 0, 0），A （0, 8, 0），A₁（0, 8,8），B₁（6, 0, 8）．设D（a, b, 0）（，），

因为 点D在线段AB上，且， 即．

所以．

所以，．                                         

平面BCD的法向量为．

设平面B₁CD的法向量为，

由 ，， 得 ，

所以，．                

设二面角的大小为，．

所以二面角的余弦值为．