Question

5．已知函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1（其中0＜ω＜1），若点（-$\frac{π}{6}$，1）是函数f（x）图象的一个对称中心．
（Ⅰ）试求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦函数的图象的对称性，求得ω的值，可得函数的解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）在区间[-π，π]上的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）∵点（-$\frac{π}{6}$，1）是函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1（其中0＜ω＜1）图象的一个对称中心，
∴2ω•（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，∴ω=$\frac{1}{2}$，∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（Ⅱ）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得2kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，故函数的减区间为[2kπ+$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{4π}{3}$]，k∈Z．
结合x∈[-π，π]，可得减区间为[-π，$\frac{2π}{3}$]、[$\frac{π}{3}$，π]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于基础题．