Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率等于

2 5

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线y=

1

4

x2的焦点，离心率等于

2 5

5

．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求出λ₁+λ₂值，即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．…（2分）∴

a2-b2 a2

=

2 5

5

．即

1- 1 a2

=

2 5

5

．∴a²=5．…（4分）
∴椭圆C的方程为 

x2

5

+y2=1．…（5分）
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．
又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．…（7分）
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．…（8分）∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

．…（9分）
又∵

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，将各点坐标代入得λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

．（11分）∴λ1+λ2=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=…=-10．…（12分）

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．