Question

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，
（1）当-1≤x≤1时，讨论f（x）的奇偶性；
（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）当时a=0，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
此时f（x）为奇函数．
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
由f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a），
此时f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）当a≤0时，∵0≤x≤1时，f（x）=x（x-a）为增函数，∴x=1时，f（x）_max=f（1）=1-a．
当a＞0时，∵0≤x≤1，∴f（x）=|x（x-a）|=|x²-ax|，其图象如图所示：
①当，即a≥2时，f（x）_max=f（1）=a-1．
②当，即时，．
③当，即时，f（x）_max=f（1）=1-a．
综上：当时，f（x）_max=1-a；
当时，； 当a≥2时，f（x）_max=a-1．
分析：（1）当时a=0，经检验 f（x）为奇函数，当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，此时f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
（2）当a≤0时，f（x）_max=f（1）=1-a．当a＞0时，f（x）=|x²-ax|，其图象如图所示：分当，
当，当这三种情况，分别利用单调性求出函数的最值．
点评：本题考查判断函数的奇偶性的方法，求函数最值，体现了数形结合的数学思想，利用函数的单调性求最值，是解题的难点．