Question

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值与单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在x=-1处的切线与直线y=3x平行，求a的值；
（3）若函数f（x）=ax³-3x²的图象与直线y=-2有三个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3x²，求得f′（x）=3x²-6x，通过对f′（x）＞0与f′（x）＜0的分析，可求得f（x）的单调区间和极值；
（2）求出导函数，求出f′（-1）即切线的斜率，利用平行的两直线的斜率相等，列出关于a的方程，解方程，求出a的值即可；
（3）有关两函数的公共点问题，可以转化为函数的极大值和极小值与0比较大小的问题．函数f（x）=ax³-3x²的图象与直线y=-2有三个公共点，即可转化为[f（x）]_极大＞-2，且[f（x）]_极小＜-2，由此不难得出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x
令 f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=2．                            
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0．
所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，0）、（2，+∞）；f（x）的单调递减区间为（0，2）；                                   
故当x=0时，f（x）的极大值是f（0）=0；
当x=2时，f（x）的极小值是f（2）=-4．
 （2）∵f（x）=ax³-3x²的f′（x）=3ax²-6x，则f′（-1）=3a+6
由条件 f′（-1）=3，即3a+6=3，解得a=-1，
则当a=-1时，函数f（x）的图象在x=-1处的切线与直线y=3x平行；
（3）①当a=0时，f（x）=3x²的图象与直线y=-2没有三个公共点，不符合题意；
②当a＞0时，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
则f（x）的单调递增区间为（-∞，0）、（

2

a

，+∞），f（x）的单调递减区间为（0，

2

a

）．
又由f（0）=0＞-2，所以f（

2

a

）=-

4

a2

＜-2，
解得-2

2

＜a＜2

2

，则满足条件的a的取值为（0，2

2

）；
③当a＜0时，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
则f（x）的单调递增区间为（-∞，

2

a

），（0，+∞），f（x）的单调递减区间为（

2

a

，0）．
又由f（0）=0＞-2，所以f（

2

a

）=-

4

a2

＜-2，
解得-2

2

＜a＜2

2

，则满足条件的a的取值为（-2

2

，0）．
综上，若函数f（x）=ax³-3x²的图象与直线y=-2有三个公共点，
则a的取值范围为（-2

2

，0）∪（0，2

2

）．

点评：本题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，属于中档题．