Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△ADE中，由余弦定理可得x，y，AE之间的关系，然后由S_△ADE=

1

2

S_△ABC，结合面积公式可求x与AE的关系，从而可求
（2）由题意可得y=

x2+ 4 x2 -2

，利用基本不等式可求函数的最小值

解答：解：（1）在△ADE中，y²=x²+AE²-2x•AE•cos60°⇒y²=x²+AE²-x•AE，①…（2分）
又S△ADE=

1

2

S△ABC=

3

2

=

1

2

x•AE•sin600⇒x•AE=2．②…（4分）
②代入①得y2=x2+(

2

x

)2-2(y＞0)），
∴y=

x2+ 4 x2 -2

（0x≤2）…（8分）
（2）如果DE是水管y=

x2+ 4 x2 -2

≥

2•2-2

=

2

，…（12分）
当且仅当x²=

4

x2

，即x=

2

时“=”成立，…（13分）
故DE∥BC且AD=

2

时水管的长度最短（15分）

点评：本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，及基本不等式在函数的最值求解中的应用，计算虽然简单，但是考查的内容具有较强的综合性