Question

10．已知函数f（x）=x²-2|x-a|
（1）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，求函数y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据f（-x）=f（x）恒成立，求得a的值．
（2）化简函数f（x）的解析式，数形结合求得f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）任取x∈R，则有f（-x）=f（x）恒成立，
即（-x）²-2|-x-a|=x²-2|x-a|恒成立，
即|x+a|=|x-a|恒成立，a=0．
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²-2|x-$\frac{1}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1（x≥\frac{1}{2}）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，
由函数的图象可知，函数的单调递增区间为：
（-1，$\frac{1}{2}$]、[1，+∞）．

点评 本题主要考查分段函数的应用，带有绝对值的函数，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．