Question

12．在△ABC中．已知AB=3，AC=4，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2B的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理即可解得BC的值．
（2）由正弦定理可得：sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$的值，又由余弦定理可求cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$的值，利用二倍角的正弦函数公式即可得解sin2B的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中．已知AB=3，AC=4，A=60°．
∴由余弦定理可得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{13}$．
（2）∵由正弦定理可得：sinB=$\frac{AC•sinA}{BC}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
又∵cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{9+13-16}{2×3×\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$
∴sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{2\sqrt{39}}{13}$×$\frac{\sqrt{13}}{13}$=$\frac{4\sqrt{3}}{13}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．