Question

6．已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，若a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{n}}{2}，}&{{a}_{n}是偶数}\\{{3a}_{n}+1，}&{{a}_{n}是奇数}\end{array}\right.$且a₁为一奇数，S₃=29，则S₂₀₁₅=4725．

Answer 1

分析 a₁为一奇数，可得a₂=3a₁+1，a₂为偶数，a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}$=$\frac{1}{2}（3{a}_{1}+1）$，利用S₃=29，解得a₁=5．可得a₂=16，a₃=8，a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，…，因此当n≥4时，a_n+3=a_n．即可得出．

解答 解：∵a₁为一奇数，∴a₂=3a₁+1，∴a₂为偶数，
∴a₃=$\frac{1}{2}{a}_{2}$=$\frac{1}{2}（3{a}_{1}+1）$，
∵S₃=29，
∴a₁+3a₁+1+$\frac{1}{2}（3{a}_{1}+1）$=29，
解得a₁=5．
∴a₂=16，a₃=8，a₄=4，a₅=2，a₆=1，a₇=4，…，∴当n≥4时，a_n+3=a_n．
∴S₂₀₁₅=（5+16+8）+670×（4+2+1）+（4+2）
=4725．
故答案为：4725．

点评 本题考查了“分类讨论”方法、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．