Question

选考题
请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．
22-1设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|
（1）解不等式f（x）≤5x+1；
（2）若g(x)=

1

f(x)+m

定义域为R，求实数m的取值范围．
22-2如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E，AB=2AC，
（1）求证：BE=2AD；
（2）当AC=1，BC=2时，求AD的长．
22-3已知P为半圆C：

x=cosθ y=sinθ

(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与半圆C上的弧AP的长度均为

π

3

（1）求以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（2）求直线AM的参数方程．

Answer 1

分析：22-1（1）原不等式等价于

x＜ 1 2 9x≥3

或

1 2 ≤x≤ 3 2 1≤5x

或

x＞ 3 2 x≥-5

解之即可；
（2）依题意，f（x）+m=0在R上无解，可求得f（x）_min，令-m=f（x）＜f（x）_min即可．
22-2：（1）连接DE，由△BDE∽△BCA可证得结论；
（2）设AD=t，根据割线定理得 BD•BA=BE•BC，整理得（2-t）•2=2t•2，从而解得答案； 
23-3：（1）由已知，点M的极角为

π

3

，极径等于

π

3

，从而可求得点M的极坐标；
（2）由点M的直角坐标为（

π

6

，

3 π

6

），A（1，0，即可求得直线AM的参数方程．

解答：22-1 解：（1）原不等式等价于：于

x＜ 1 2 9x≥3

或

1 2 ≤x≤ 3 2 1≤5x

或

x＞ 3 2 x≥-5

，
因此不等式的解集为{x|x≥

1

3

}．
（2）由于g（x）=

1

f(x)+m

的定义域为R
∴f（x）+m=0在R上无解
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2即f（x）_min=2
∴-m＜2，即m＞-2
22-2证明：（1）连接DE，
∵ACDE为圆的内接四边形．
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA 即

BE

BA

=

DE

CA

，
而 AB=2AC，
∴BE=2DE．
又CD是∠ACB的平分线，
∴AD=DE 从而BE=2AD．
（2）由条件得 AB=2AC=2
设AD=t，根据割线定理得 BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•2
∴（2-t）•2=2t•2，解得t=

2

3

，即AD=

2

3

．
22-3解：（1）由已知，点M的极角为

π

3

，极径等于

π

3

，所以M（

π

3

，

π

3

）．
（2）点M的直角坐标为（

π

6

，

3 π

6

），A（1，0），故直线AM的参数方程为

x=1+( π 6 -1)t y= 3 π 6 t

(t为参数)．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查与圆有关的比例线段，考查点的极坐标和直角坐标的互化，综合性强，难度大，属于难题．