Question

下列关于曲线5x²y²+y⁴=1的描述中：①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为

2 5

5

正确的序号是

 

．

Answer 1

分析：把方程化为 y²（5x²+y²）=1，由 y≠0 知曲线不是封闭曲线．把曲线方程中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，故曲线关于原点对称．令 t=x²+y²，由基本不等式求得t 的最小值，即可求得曲线上的点到原点的距离

t

 的最小值．

解答：解：曲线5x²y²+y⁴=1 即 y²（5x²+y²）=1，显然，y≠0．故表示的曲线不是封闭曲线，故①不正确．
把曲线方程中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，故曲线关于原点对称，故②正确．
令 t=x²+y²，则 x²=t-y²，代入5x²y²+y⁴=1
化简得t=

1+4y4

5y2

=

1

5y2

+

4y2

5

≥2

1 5y2 • 4y2 5

=

4

5

，
故t 的最小值等于

4

5

．
∴曲线上的点到原点的距离

t

 的最小值为

2 5

5

，故③正确．
故答案为  ②③．

点评：本题考查方程所表示的曲线，曲线的对称性，两点间的距离公式，基本不等式的应用，求曲线上的点到原点的最小距离
是解题的难点．