Question

16．已知函数f（x）是（-∞，+∞）上是严格单调增函数，a、b∈R，写出命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假，说明理由．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是四种间的逆否关系及四种命题，由已知函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，我们可以先判断原命题的真假，然后根据互为逆否命题的真假性相同，我们也可以得到其逆否命题真假；然后再证明其否命题的真假，再根据其否命题与其逆命题也互为逆否命题，真假性也相同，即可得到其逆命题的真假．

解答 解：（1）逆命题：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
这是一个真命题，证明如下
∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且a+b≥0得a≥-b，
∴f（a）≥f（-b），同理可得f（b）≥f（-a）
将以上两个不等式相加，可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（2）否命题：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0．
这是一个真命题，证明如下
假设结论不成立，即a+b≥0，
则由（1）可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），与条件f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）矛盾．
所以结论a+b＜0成立，否命题也是一个真命题；
（3）其逆否命题：“若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0”也为真．
再证否命题“若a+b＜0，则f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”为真．
a+b＜0⇒a＜-b，b＜-a
⇒f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a）
⇒f（a）+f（b）＜f（-b）+f（-a）．
故其逆命题：“若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”也为真．

点评 已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题．逆命题：“若q，则p”；否命题：“若?p，则?q”；逆否命题：“若?q，则?p”，对写出的命题也可简洁表述；对于含有大前提的命题，在改写命题形式时，大前提不要动．