Question

从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t．
（1）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；
（2）x为何值时，容积V有最大值．

Answer 1

解：由题意得，V=x（2a-2x）²=4（a-x）²•x
∴
∴
∴函数V（x）=4（a-x）²•x的定义域为
V′=4（x-a）•（3x-a）令V′=0得
（1）当 ，即 时，
∵时，V′＞0．
V（x）为增函数； 时，V′＜0．V（x）为减函数；
∴V（x）在 上有极大值V（ ），
∵为唯一驻点，
∴当 时，V有最大值 ．
（2）当 ，即 时，
∵时，V′＞0恒成立；
∴V（x）为增函数；
∴当 时，V有最大值 ．
分析：（1）由已知中从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，根据长方体的体积公式，易得到V的表达式．
（2）求体积最大值的问题，由题意解出v的表达式，对函数v进行求导，解出极值点，然后根据极值点来确定函数v的单调区间，因极值点是关于a，t的表达式，此时就需要讨论函数v的单调性，分别代入求出最大值，从而求解．
点评：此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．