Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为e．直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点．设．

(1)证明λ＝1－e²；

(2)确定λ的值，使得ΔPF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证法一：因为A、B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点．所以A、B的坐标分别是(，0)，(0，a)．由得 　　这里c＝，所以点M的坐标是(－c，)． 　　由得(，)＝λ(，a) 　　即，解得λ＝1－e2． 　　证法二：因为A、B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(，0)，(0，a)．设M的坐标是(x0，y0)，由得(，y0)＝λ(，a)． 　　所以 　　因为点M在椭圆上，所以＝1． 　　即＝1，所以＝1． 　　e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 　　解得e2＝1－λ，即λ＝1－e2． 　　(2)解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角．要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|、即|PF1|＝c． 　　设点F1到l的距离为d，由|PF1|＝d＝＝c， 　　得＝e，所以e2＝．于是λ＝1－e2＝． 　　即当λ＝时，△PF1F2为等腰三角形． 　　解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|． 　　设点P的坐标(x0，y0)，则解得 　　由|PF1|＝|F1F2| 　　得[]2＋[]2＝4c2，两边同时除以4a2，化简得＝e2． 　　从而e2＝．于是λ＝1－e2＝． 　　即当λ＝1－e2＝时，△PF1F2为等腰三角形．