Question

已知双曲线C的一条渐近线为y=

1

2

x，且与椭圆x2+

y2

6

=1有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l：x-

2

y-2=0与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）确定椭圆x2+

y2

6

=1的焦点坐标，设双曲线的方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），利用双曲线C的一条渐近线为y=

1

2

x，且与椭圆x2+

y2

6

=1有公共焦点，即可求得双曲线的方程；
（2）直线l：x-

2

y-2=0与双曲线C联立，消元，可证明：x_Ax_B+y_Ay_B=0，即可证得以AB为直径的圆过原点．

解答：解：（1）椭圆x2+

y2

6

=1的焦点坐标为（0，±

5

）
设双曲线的方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），则

a b = 1 2 a2+b2=5

，∴a=1，b=2
∴双曲线C：y2-

x2

4

=1；
（2）直线l：x-

2

y-2=0与双曲线C联立，消元可得y2-2

2

y-4=0
∴y_Ay_B=-4，yA+yB=2

2

∴x_Ax_B=2y_Ay_B+

2

（y_A+y_B）+4=4
∴x_Ax_B+y_Ay_B=0
∴OA⊥OB
∴以AB为直径的圆过原点．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，运用韦达定理是关键．