Question

已知函数f（x）=的定义域恰为不等式log₂（x+3）+x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：先求出不等式的解集，利用f（x）在定义域内单调递减，得到关于a的不等式，使a＜-恒成立，故a小于或等于-的最小值．
解答：解：由log₂（x+3）+x≤3得x≥，
即f（x）的定义域为[，+∞）．
∵f（x）在定义域[，+∞）内单调递减，
∴当x₂＞x₁≥时，f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，即有（ax₁-+2）-（ax₂-+2）＞0?a（x₁-x₂）-（-）＞0?（x₁-x₂）（a+）＞0恒成立．
∵x₁＜x₂，∴（x₁-x₂）（a+）＞0?a+＜0．
∵x₁x₂＞⇒-＞-，
要使a＜-恒成立，
则a的取值范围是a≤-．
点评：本题考查对数的运算性质，函数的单调性及函数的恒成立问题．