Question

（2013•海淀区一模）抛物线y²=4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（-1，0），则

|PF|

|PA|

的最小值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  2 3

  3

Answer 1

分析：通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使

|PF|

|PA|

有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．

解答：解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，A（-1，0），
过P作PN垂直直线x=-1于N，
由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，

|PF|

|PA|

有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
设在PA的方程为：y=k（x+1），所以

y=k(x+1) y2=4x

，
解得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
所以△=（2k²-4）²-4k⁴=0，解得k=±1，
所以∠NPA=45°，

|PF|

|PA|

=cos∠NPA=

2

2

．
故选B．

点评：本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖．