Question

已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）为R上的减函数；
（3）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4．

Answer 1

（1）证明，依题意取x=y=0有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，…1分
又取y=-x可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）（x∈R），即f（x）+f（-x）=0（x∈R）
∴f（-x）=-f（x）（x∈R）…3分
由x的任意性可知f（x）为奇函数…4分
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂=x₁+（x₂-x₁），…5分
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂-x₁）]=-f（x₂-x₁）…7分
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）为R上的减函数；
（3）依题意有f（2）=f（1）+f（1）=4…9分
∴不等式可化为f（x-1）-f（1-2x-x²）＜f（2），即f（x-1）＜f（1-2x-x²）+f（2），
∴f（x-1）＜f（3-2x-x²），…10分
∵f（x）为R上的减函数，
∴x-1＞3-2x-x²解得x＜-4或x＞1…11分
∴不等式的解集为：{x|x＜-4或x＞1}…12分
分析：（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=-x可得，f（-x）=-f（x）；
（2）设x₁＜x₂，则x₂=x₁+（x₂-x₁），由条件可得f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＞0，从而可得结论；
（3）依题意有f（2）=f（1）+f（1）=4，f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4可化为f（x-1）＜f（3-2x-x²），利用函数的单调性脱掉函数“外衣”，解不等式即可．
点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性及解不等式，赋值法是解决抽象函数的常用方法，（3）中4=f（2）的转化是利用单调性脱掉函数符号的关键，属于中档题．