Question

10．已知在?ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）
（1）求点D的坐标；
（2）试判断?ABCD是否为菱形．

Answer 1

分析 （1）设顶点D的坐标为（x，y），根据题意可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，利用向量的坐标运算和向量相等的条件求出点D的坐标；
（2）根据两点之间的距离公式求出|AB|、|AD|，即可得到答案．

解答 解：（1）设顶点D的坐标为（x，y），
由题意可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，则（4，-2）=（3-x，4-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=3-x}\\{-2=4-y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标是（-1，6）；
（2）∵A（1，2），B（5，0），C（3，4）、D（-1，6），
∴|AB|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{5}$，|AD|=$\sqrt{{（-1-1）}^{2}+{（6-2）}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
则在?ABCD中|AB|=|AD|，∴?ABCD是棱形．

点评 本题考查向量的坐标运算和向量相等的条件，以及两点之间的距离公式，属于基础题．