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已知正数列{an}的前n项和为Sn,且有Sn=
1
4
(an+1)2
,数列{bn}是首项为1,公比为
1
2
的等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)若c=anbn,求:数列{cn}的前n项和Tn
(3)求证:
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
5
3
分析:(1)利用an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
即可得出an;利用等比数列的通项公式即可得出bn
(2)利用“错位相减法”即可得出;
(3)利用“放缩法”和“裂项求和”即可得出.
解答:解:(1)由Sn=
1
4
(an+1)2

当n=1时,a1=
1
4
(a1+1)2
,∴a1=1,
n≥2时,Sn-1=
1
4
(an-1+1)2

an=Sn-Sn-1=
1
4
(
a
2
n
-
a
2
n-1
+2an-2an-1)

即(an+an+1)(an-an-1-2)=0,∵an>0,
∴数列{an}是a1=1,d=2的等差数列
∴an=a1+(n-1)d=2n-1.
∵数列{bn}是首项为1,公比为
1
2
的等比数列.
bn=b1qn-1=1×(
1
2
)n-1
=(
1
2
)n-1

(2)cn=anbn=
2n-1
2n-1
,Tn=c1+c2+…+cn
Tn=1+
3
2
+
5
22
+…+
2n-1
2n-1
,①
1
2
Tn=
1
2
+
3
22
+…+
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
,②
①-②得
1
2
Tn
=1+1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-2
-
2n-1
2n
=
2(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
-1-
2n-1
2n
=3-
1
2n-2
-
2n-1
2n

Tn=6-
2n+3
2n-1

(3)∵Sn=
1
4
(an+1)2=
1
4
(2n-1+1)2
=n2
当n≥2,
1
Sn
=
1
n2
1
n2-1
=
1
2
(
1
n-1
-
1
n+1
)

1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1+
1
22
+
1
2
[(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n-2
-
1
n
)+(
1
n-1
-
1
n+1
)]

=1+
1
4
+
1
2
(
1
2
+
1
3
-
1
n
-
1
n+1
)
<1+
1
4
+
1
2
(
1
2
+
1
3
)
=1+
1
4
+
1
4
+
1
6
=
5
3
点评:熟练掌握an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
、等比数列的通项公式、“错位相减法”、“放缩法”和“裂项求和”等是 解题的 关键.
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已知正数列{an}的前n项和为Sn,且有Sn=
1
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(an+1)2
,数列b1,b2-b1,b3-b2,…,bn-bn-1是首项为1,公比为
1
2
的等比数列.
(1)求证数列{an}是等差数列;
(2)若cn=an•(2-bn),求数列{cn}的前n项和Tn
(3)在(2)条件下,是否存在常数λ,使得数列(
Tn
an+2
)
为等比数列?若存在,试求出λ;若不存在,说明理由.

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,数列{bn}是首项为1,公比为
1
2
的等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)若c=anbn,求:数列{cn}的前n项和Tn
(3)求证:
1
S1
+
1
S2
+
1
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+…+
1
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科目:高中数学 来源:2008-2009学年江西省宜春市上高二中高一(下)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知正数列{an}的前n项和为Sn,且有Sn=,数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)若c=anbn,求:数列{cn}的前n项和Tn
(3)求证:

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