Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x²=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）若线段AB上的点P满足，求动点P的轨迹方程；
（2）对于（1）中的点P，若点O关于点P的对称点为Q，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

解：（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
点P（x，y），由，
得，依题意，
故所求的轨迹方程为x=4（y＞4）．
（2）（理）由（1）知x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，
由，
解得-26≤b≤10，注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10
分析：（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），点P（x，y），由，得，由此能得到所求的轨迹方程．
（2）由x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，知，由此能够求出直线l在y轴上截距的取值范围．
点评：本题考查动点P的轨迹方程和直线l在y轴上截距的取值范围．解题时要认真审题，合理地运用圆锥曲线的性质，注意灵活地进行等价转化．